확률질량함수

 

확률분포는 확률변수에 따라 확률이 어떻게 흩어져 있는지를 표현함.

이 흩어져 있는 것을 표현하기 위해 함수를 도입하는 것

 

확률분포는 함수인 것이다.

 

동전을 3개 던진다고 하자.

이 때, 앞면이 나오는 횟수를 X라고 하면, 다음과 같은 결과를 얻는다.

확률변수X에 관한 함수를 만들자. 각 확률변수에 대응하는 확률은 다음과 같다.

 

$ P(X=0)=\frac{1}{8} $

 

$ P(X=1)=\frac{3}{8} $

 

$ P(X=2)=\frac{3}{8} $

 

$ P(X=3)=\frac{1}{8} $

 

동전을 3개 던질때 앞면이 나오는  확률 f(x)는 다음과 같다.

 

$ f(x)=\binom{3}{x} \times (\frac {1}{2})^{x} \times (\frac {1}{2})^{3-x} = \binom {3}{x} \times \frac {1}{8}$

 

이 함수 $f(x)$를 이산확률변수의 확률질량함수(probability mass function)이라고 한다.

 

이산확률변수 X가 취할 수 있는 값 $x_{1},x_{2},...x_{n}$의 각각에 대해

확률 $P(X=x_{1}),P(X=x_{2}),...,P(X=x_{n})$를 대응시켜주는 관계를

X의 '확률질량함수'라 하고, $f(x)=P(x_{i}), x=0,1,2,...,i$로 표시한다.

 

 

확률질량함수의 성질

1. 모든 $x$에 대하여 $f(x) \geq 0 $

2. $ \sum_{i=1}^\infty f(x_{i})=1 $

3. $ P(a \leq X \leq b)=\sum_{a \leq x_{i} \leq b} f(x_{i}) $

 

 

 

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[확률과 통계] 16. 확률질량함수, Probability Mass Function of Discrete Random Variable