이산확률변수의 결합확률분포

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확률질량함수

 

결합확률분포는 이산확률변수가 두 개인 확률질량함수이다.

 

예시)

3개의 검은 구슬, 2개의 붉은 구슬, 3개의 흰 구슬이 들어있는 상자에서

임의로 2개의 구슬을 꺼낼 때, 검은 구슬의 개수를 X, 붉은 구슬의 개수를 Y라 하면

X와 Y의 결합확률분포를 구하여라.

 

2개의 구슬을 꺼낼 때 확률변수 X, Y는 다음과 같다.

$ X=0,1,2 $

$ Y=0,1,2 $

$ X+Y \leq 2 $

 

이 조건을 만족시키는 순서쌍은

$ (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0) $ 이다.

 

각 순서쌍에 대한 확률을 구하면 다음과 같다.

 

$f(0,0)=\frac { \binom {3}{2} } {\binom {8}{2}} \Rightarrow $검은색, 붉은색 구슬이 없어야 하므로 흰 구슬에서 2개를 뽑는다.

 

$f(0,0)=\frac{3}{28}$

 

$f(0,1)=\frac { \binom {2}{1} \times \binom {3}{1} } {\binom {8}{2}} \Rightarrow $ 붉은색 구슬이 한개이고 검은색  구슬이 없어야한다. 붉은색에서 1개, 흰색에서 1개 뽑는다.

 

$f(0,1)=\frac{6}{28}$

 

$f(0,2)=\frac { \binom {2}{2} } {\binom {8}{2}} = \frac {1}{28} $

 

$f(1,0)=\frac { \binom {3}{1} \times \binom {3}{1} } {\binom {8}{2}} = \frac {9}{28} $

 

$f(1,1)=\frac { \binom {3}{1} \times \binom {2}{1} } {\binom {8}{2}} = \frac {6}{28} $

 

$f(2,0)=\frac { \binom {3}{2} } {\binom {8}{2}} = \frac {3}{28} $

 

순서쌍에 대한 확률을 구하면 결합확률분포표를 얻을 수 있습니다.

row : X col : Y	0	1	2
0	$ \frac {3}{28} $	$ \frac {9}{28} $	$ \frac {3}{28} $
1	$ \frac {6}{28} $	$ \frac {6}{28} $	0
2	$ \frac {1}{28} $	0	0

 

Q. $ A=\{(x,y) | x+y \leq 1 \} $ 일 때, $ P[(X,Y) \in A] $를 구하여라.

 

$ f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) = \frac {3}{28} + \frac {9}{28} + \frac {6}{28} = \frac {9}{14} $

 

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[확률과 통계] 20. 이산확률변수의 결합확률분포, Joint Probability Distribution of Discrete Random Variable