선형변환과 행렬

선형변환의 정의

 

임의의 벡터 $ \hat {a}, \hat {b} $와 스칼라 k에 대하여 변환 T가 

두 가지 조건을 만족하면 선형변환이다.

 

Superposition and Homogeneity

$ T(\hat {a} +\hat {b}) = T(\hat {a}) + T(\hat {b}) $ 

$ T(k \hat {a}) = kT(\hat {a}) $

 

선형변환은 행렬로 표현할 수 있다.

회전변환(Rotation) 행렬 구하기

Rotation matrix : $ M = R(\theta) $

Transformation : $ \hat {y} = R(\theta) \hat {x} $

왼쪽 그림에서

y축은 $ \sin \theta $ 이고,

x축은 $ \cos \theta $ 이다.

 

y벡터는 $ \sin \theta $ 이고,

x벡터는 $ \cos \theta $ 이다.

 

오른쪽 그림에서

y축은 $ \cos \theta $ 이고,

x축은 $ -\sin \theta $ 이다.

 

다음을 참고하면 이해하기 쉽다.

OP = r=1 이면 P(x, y)는 반지름의 길이가 1인 단위원위에 그려지며

삼각함수 정의에 의해 $ \sin \theta = \frac {y} {r} = y, \cos \theta = \frac {x} {r} = x $ 이다.

 

왼쪽항 

임의의 $ \hat {x_{1}} $ 가 특정한 회전변환(M)에 의해서 $ \hat {y_{1}} $ 로 가고,

임의의 $ \hat {x_{2}} $ 가 특정한 회전변환(M)에 의해서 $ \hat {y_{2}} $ 로 갔다.

 

오른쪽항

하나로 합치면 $ M[\hat {x_{1}} \hat {x_{2}}] $ 이다. 

$ R(\theta) $ 오른쪽에 있는 행렬은 단위행렬이라 곱해도 같다.

Stretch / Compress 행렬 구하기

방향을 유지하면서 늘렸다 줄였다 하는 행렬

 

 

 

 

 

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삼각함수의 정의와 그래프 그리기

https://www.youtube.com/watch?v=q2xvT-ro43A